Matematica discreta Esempi

$f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ come un'equazione.

$y = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = - 5 y + 5 + y (4 y + 3)$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $- 5 y + 5 + y (4 y + 3) = x$ .

$- 5 y + 5 + y (4 y + 3) = x$

Passaggio 3.2

Semplifica $- 5 y + 5 + y (4 y + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 y + 5 + y (4 y) + y \cdot 3 = x$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 5 y + 5 + 4 y \cdot y + y \cdot 3 = x$

Passaggio 3.2.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$- 5 y + 5 + 4 y \cdot y + 3 \cdot y = x$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.4.1

Sposta $y$ .

$- 5 y + 5 + 4 (y \cdot y) + 3 \cdot y = x$

Passaggio 3.2.1.4.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$- 5 y + 5 + 4 y^{2} + 3 \cdot y = x$

$- 5 y + 5 + 4 y^{2} + 3 y = x$

Passaggio 3.2.2

Somma $- 5 y$ e $3 y$ .

$- 2 y + 5 + 4 y^{2} = x$

Passaggio 3.3

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 y + 5 + 4 y^{2} - x = 0$

Passaggio 3.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = 4$ , $b = - 2$ e $c = 5 - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $- 16$ per $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.6.1.6

Sottrai $80$ da $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 76 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.6.1.7

Scomponi $4$ da $- 76 + 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.7.1

Scomponi $4$ da $- 76$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.6.1.7.2

Scomponi $4$ da $16 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 4 (4 x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.6.1.7.3

Scomponi $4$ da $4 (- 19) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.6.1.8

Riscrivi $4 (- 19 + 4 x)$ come $2^{2} (- 19 + 2^{2} x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.6.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 2^{2} x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.6.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 2^{2} x}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.6.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.7.1.4

Moltiplica $- 16$ per $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.7.1.6

Sottrai $80$ da $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 76 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.7.1.7

Scomponi $4$ da $- 76 + 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.7.1

Scomponi $4$ da $- 76$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.7.1.7.2

Scomponi $4$ da $16 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 4 (4 x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.7.1.7.3

Scomponi $4$ da $4 (- 19) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.7.1.8

Riscrivi $4 (- 19 + 4 x)$ come $2^{2} (- 19 + 2^{2} x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.7.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 2^{2} x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.7.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 2^{2} x}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.7.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Passaggio 3.7.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.8.1.4

Moltiplica $- 16$ per $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.8.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.8.1.6

Sottrai $80$ da $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 76 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.8.1.7

Scomponi $4$ da $- 76 + 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.7.1

Scomponi $4$ da $- 76$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.8.1.7.2

Scomponi $4$ da $16 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 4 (4 x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.8.1.7.3

Scomponi $4$ da $4 (- 19) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.8.1.8

Riscrivi $4 (- 19 + 4 x)$ come $2^{2} (- 19 + 2^{2} x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.8.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 2^{2} x)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.8.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 2^{2} x}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.8.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Passaggio 3.8.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Passaggio 3.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

$y = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ è l'inverso di $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ e $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ .

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Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[\frac{19}{4}, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- 19 + 4 x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- 19 + 4 x \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Aggiungi $19$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$4 x \geq 19$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x \geq 19$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x \geq 19$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{19}{4}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{19}{4}$

Passaggio 5.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{19}{4}$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[\frac{19}{4}, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ è l'intervallo di $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ è il dominio di $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ è l'inverso di $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Passaggio 6